Андрей Эшпай родился 15 мая в 1925 года в музыкальной семье, сообщает «Известия». В 1928 году семья переехала в Москву, где Андрей Эшпай поступил в Музыкальную школу-семилетку им. Гнесиных. Он окончил учебу в 1941 году и добровольцем хотел отправиться на фронт. Однако его не взяли на службу из-за возраста. В 1943 году он поступил в Чкаловское пулеметное училище (Оренбург), а также окончил курсы военных переводчиков при Военном институте иностранных языков. С конца 1944 года Эшпай воевал на 1-м Белорусском фронте, встретив 9 мая 1945 года в Берлине. За участие в войне он был награжден медалями и орденом Красной звезды.
После войны Андрей Эшпай продолжил учиться. Он поступил в Музыкальное училище при Московской консерватории, затем — в консерваторию, где учился в классе знаменитых композиторов — Николая Мясковского и Николая Ракова. Позже Эшпай поступил в аспирантуру консерватории, где занимался в классе Арама Хачатуряна.
Творчество Эшпая известно в первую очередь известно благодаря песням «А снег идет», «Два берега», «Москвичи (Сережка с Малой Бронной)», «Ах, моя Одесса», «Я сказал тебе не все слова», которые исполняли Майя Кристалинская, Марк Бернес, Леонид Утесов и Владимир Трошин.
